Математические операции и линейная алгебра в NumPy

NumPy предоставляет широкий спектр функций для выполнения математических операций и линейной алгебры, что делает его мощным инструментом для числовых вычислений. Рассмотрим ключевые аспекты работы с математическими операциями и линейной алгеброй в NumPy.

Математические операции

Арифметические операции

NumPy выполняет арифметические операции поэлементно. Это означает, что операции применяются к каждому элементу массива независимо:

• Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень:

  import numpy as np
  
  a = np.array([1, 2, 3, 4])
  b = np.array([5, 6, 7, 8])
  
  # Сложение
  addition = a + b  # array([ 6,  8, 10, 12])
  
  # Вычитание
  subtraction = a - b  # array([-4, -4, -4, -4])
  
  # Умножение
  multiplication = a * b  # array([ 5, 12, 21, 32])
  
  # Деление
  division = a / b  # array([0.2, 0.33333333, 0.42857143, 0.5])
  
  # Возведение в степень
  power = a ** 2  # array([ 1,  4,  9, 16])

Универсальные функции (ufunc)

Универсальные функции (ufunc) предоставляют функции для выполнения операций, таких как:

• Тригонометрические функции:

  x = np.array([0, np.pi/2, np.pi])
  sin_x = np.sin(x)  # array([0., 1., 0.])
  cos_x = np.cos(x)  # array([ 1.,  0., -1.])

• Экспоненциальные и логарифмические функции:

  y = np.array([1, 2, 3])
  exp_y = np.exp(y)  # array([ 2.71828183,  7.3890561 , 20.08553692])
  log_y = np.log(y)  # array([0.        , 0.69314718, 1.09861229])

• Корень и модуль:

  sqrt_y = np.sqrt(y)  # array([1.        , 1.41421356, 1.73205081])
  abs_y = np.abs(np.array([-1, -2, 3]))  # array([1, 2, 3])

Статистические функции

Функции для вычисления статистических характеристик:

• Среднее, медиана, стандартное отклонение:

  data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
  
  mean_data = np.mean(data)  # 3.0
  median_data = np.median(data)  # 3.0
  std_data = np.std(data)  # 1.4142135623730951

• Минимум и максимум, процентиль:

  min_data = np.min(data)  # 1
  max_data = np.max(data)  # 5
  percentile_25 = np.percentile(data, 25)  # 2.0

Линейная алгебра

Матричные операции

• Умножение матриц:

  A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
  matrix_product = np.dot(A, B)  # array([[19, 22], [43, 50]])

  Или используя оператор @:

  matrix_product = A @ B  # array([[19, 22], [43, 50]])

• Транспонирование матриц:

  transposed = A.T  # array([[1, 3], [2, 4]])

• Обратная матрица:

  inv_A = np.linalg.inv(A)  # array([[-2. ,  1. ], [ 1.5, -0.5]])

• Определитель матрицы:

  det_A = np.linalg.det(A)  # -2.0000000000000004

• Собственные значения и собственные векторы:

  eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

Решение систем линейных уравнений

• Решение системы уравнений (Ax = b):

  A = np.array([[3, 2], [1, 2]])
  b = np.array([7, 4])
  solution = np.linalg.solve(A, b)  # array([1., 2.])

Факторизация

• LU-разложение:

  from scipy.linalg import lu
  
  A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
  P, L, U = lu(A)

• SVD (Сингулярное разложение):

  U, s, Vh = np.linalg.svd(A)

Нормы и расстояния

• Евклидова норма:

  norm = np.linalg.norm(A)  # 5.477225575051661

• Расстояние между двумя векторами:

  x = np.array([1, 2])
  y = np.array([3, 4])
  distance = np.linalg.norm(x - y)  # 2.8284271247461903

Заключение

NumPy предоставляет мощные инструменты для выполнения математических операций и линейной алгебры, которые оптимизированы для работы с большими объемами данных и сложными вычислениями. Эти функции обеспечивают высокую производительность и позволяют легко и эффективно решать широкий спектр задач в области численных вычислений и анализа данных.